Question

【題目】已知拋物線：經過點，過點作直線交于，兩點，、分別交直線于，兩點.

（1）求的方程和焦點坐標；

（2）設，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）拋物線：，焦點（2）證明見解析

【解析】

（1）把的坐標代入拋物線方程中求出的方程，寫出焦點坐標即可；

（2）設出直線的方程，與拋物線方程聯立，根據判別式求出直線方程中的參數取值范圍，設出直線的方程，與聯立，求出點坐標，同理求出點坐標，求出的表達式，結合根與系數的關系，最后計算的結果是常數即可.

解：（1）∵拋物線經過點，

∴，∴，

拋物線：，焦點.

證明：（2）∵過點且與拋物線交于兩點，

∴的斜率存在且不為0.

設：，

，

由得，即或，

設，，

則，，

：，

令得，

∴，

同理得，

∴

，

其中，

，

，

將以上3式代入上式得

為定值.

（或時，）