【題目】設函數
，其中
為正實數.
(1)若不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；
(2)當
時，證明
.
【答案】（1）
（2）見解析
【解析】
(1)討論研究函數
的單調性，求出函數
在
上的最大值．要不等式
恒成立，只需最大值小于零，即可求出．
(2)將原不等式等價變形為
，由(1)可知
，試證
在
時恒成立，即可由不等式性質證出
．
（1）由題意得
設
，則
，
①當
時，即
時，
，
所以函數在
上單調遞增，
，滿足題意；
②當
時，即
時，則
的圖象的對稱軸
因為
，
所以在上存在唯一實根，設為
，則當
時，
，
當
時，
，
所以在
上單調遞增，在
上單調遞減，
此時
，不合題意．
綜上可得，實數
的取值范圍是．
（2）
等價于
因為，所以
，所以原不等式等價于，
由(1)知當
時，
在上恒成立，整理得
令
，則
，
所以函數
在區間上單調遞增，
所以
，即在上恒成立.
所以，當時，恒有，
高中必刷題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“綠水青山就是金山銀山”的生態文明發展理念已經深入人心，這將推動新能源汽車產業的迅速發展.下表是近幾年我國某地區新能源乘用車的年銷售量與年份的統計表:
某機構調查了該地區30位購車車主的性別與購車種類情況，得到的部分數據如下表所示:
(1)求新能源乘用車的銷量
關于年份
的線性相關系數
，并判斷與是否線性相關;
(2)請將上述
列聯表補充完整，并判斷是否有
的把握認為購車車主是否購置新能源乘用車與性別有關;
(3)若以這30名購車車主中購置新能源乘用車的車主性別比例作為該地區購置新能源乘用車的車主性別比例，從該地區購置新能源乘用車的車主中隨機選取50人，記選到女性車主的人數為
，求的數學期望與方差.
參考公式:
，
，其中
.
，若
，則可判斷與線性相交.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線
與拋物線
：
交于
，
兩點，且
的面積為16（
為坐標原點）.
（1）求的方程；
（2）直線
經過的焦點
且不與
軸垂直，與交于
，
兩點，若線段
的垂直平分線與軸交于點
，證明：
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】現計劃用兩張鐵絲網在一片空地上圍成一個梯形養雞場
，
，
，已知
兩段是由長為
的鐵絲網折成，
兩段是由長為
的鐵絲網折成.設上底的長為
，所圍成的梯形面積為
.
（1）求S關于x的函數解析式，并求x的取值范圍；
（2）當x為何值時，養雞場的面積最大?最大面積為多少?
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖,在三棱錐
中,
為等腰直角三角形,
為等邊三角形,其中O為BC中點,且
.
(1)求證:平面
平面PBC;
(2)若
且
平面EBC,其中E為AP上的點,求CE與平面ABC所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】生男生女都一樣，女兒也是傳后人.由于某些地區仍然存在封建傳統思想，頭胎的男女情況可能會影響生二孩的意愿，現隨機抽取某地200戶家庭進行調查統計.這200戶家庭中，頭胎為女孩的頻率為0.5，生二孩的頻率為0.525，其中頭胎生女孩且生二孩的家庭數為60.
（1）完成下列
列聯表，并判斷能否有95%的把握認為是否生二孩與頭胎的男女情況有關；
生二孩 | 不生二孩 | 合計 | |
頭胎為女孩 | 60 | ||
頭胎為男孩 | |||
合計 | 200 |
（2）在抽取的200戶家庭的樣本中，按照分層抽樣的方法在生二孩的家庭中抽取了7戶，進一步了解情況，在抽取的7戶中再隨機抽取4戶，求抽到的頭胎是女孩的家庭戶數
的分布列及數學期望.
附：
| 0.15 | 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 2.072 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
（其中
）.
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