【題目】橢圓
的離心率為
且四個頂點構成面積為
的菱形.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過點
且斜率不為0的直線
與橢圓交于
，
兩點，記
中點為
，坐標原點為
，直線
交橢圓于
，
兩點，當四邊形
的面積為
時，求直線的方程.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
或
.
【解析】
（Ⅰ）由離心率為
結合
得到
，結合四個頂點構成面積為
的菱形列方程即可求解.
（Ⅱ）設點
，
的坐標分別為
，
，點
坐標為
，設直線
的方程為
，聯立直線與橢圓方程可得：
，
，即可求得直線
的方程為
，聯立直線與橢圓方程即可求得
，求出
兩點到直線
的距離
，
，結合四邊形
的面積為
列方程即可求得
，問題得解。
解：（Ⅰ）設橢圓的焦距為
，則
，又，所以.
因為
，所以
，
，
故所求橢圓的標準方程為.
（Ⅱ）設點，的坐標分別為，，直線的方程為，與橢圓方程聯立，得
.
設點坐標為，則有，
，因此
.
所以直線的方程為，與橢圓方程聯立，得
.
所以弦長
.
不妨設點在直線：上方，則點在直線：下方.
點
到直線的距離為
，
點
到直線的距離為
.
所以
.
所以面積
.
因此直線
的方程為或.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某科技創新公司在第一年年初購買了一臺價值昂貴的設備，該設備的第1年的維護費支出為20萬元，從第2年到第6年，每年的維修費增加4萬元，從第7年開始，每年維修費為上一年的125%．
（1）求第n年該設備的維修費
的表達式；
（2）設
，若
萬元，則該設備繼續使用，否則須在第n年對設備更新，求在第幾年必須對該設備進行更新？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O，點D，E，F為圓O上的點，
，
，
分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起，，，使得D，E，F重合于P，得到三棱錐
．
（1）當
時，求三棱錐的體積；
（2）當
的邊長變化時，三棱錐的側面和底面所成二面角為
，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】4名運動員參加一次乒乓球比賽，每
名運動員都賽
場并決出勝負．設第
位運動員共勝
場，負
場
，則錯誤的結論是( )
A. 
B. 
C. 
為定值，與各場比賽的結果無關
D. 
為定值，與各場比賽結果無關
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知命題
： 
表示雙曲線，命題
： 
表示橢圓。
（1）若命題
與命題
都為真命題，則
是
的什么條件？
（請用簡要過程說明是“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”和“既不充分也不必要條件”中的哪一個）
（2）若
為假命題，且
為真命題，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，動點
分別與兩個定點
，
的連線的斜率之積為
.
（1）求動點的軌跡
的方程；
（2）設過點
的直線與軌跡交于
，
兩點，判斷直線
與以線段
為直徑的圓的位置關系，并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率
，且經過點
．
求橢圓
的方程；
過點
且不與
軸重合的直線
與橢圓交于不同的兩點
，
，過右焦點
的直線
分別交橢圓于點
，設
，
,求
的取值范圍．
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