Question

【題目】若數列滿足:對任意，都有,則稱為“緊密”數列.

(1)設某個數列為“緊密”數列，其前項依次為，求的取值范圍；

(2)若數列的前項和，判斷是否為“緊密”數列，并說明理由；

(3)設是公比為的等比數列，前項和為，且與均為“緊密”數列，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是 “緊密”數列，理由見詳解；（3）

【解析】

（1）根據題意，得到，且，求解，即可得出結果；

（2）根據，求出，計算的范圍，即可得出結論；

（3）先討論，易得滿足題意；再討論，得到，，根據為“緊密”數列，得到或，分別根據這兩種情況，計算的范圍，即可得出結果.

（1）若數列為“緊密”數列，則，且，解得：；

即的取值范圍為；

（2）數列為“緊密”數列；理由如下：

數列的前項和，

當時，；

當時，，

又，即滿足，

因此，

所以對任意，，

所以，

因此數列為“緊密”數列；

（3）因為數列是公比為的等比數列，前項和為，

當時，有，，

所以，，滿足題意；

當時，，，因為為“緊密”數列，

所以，即或，

當時，，

，

所以，滿足為“緊密”數列；

當時，，不滿足為“緊密”數列；

綜上，實數的取值范圍是.