Question

已知曲線y=

1

3

x3上一點M處的切線與直線y=3-x垂直，則此切線的方程為

y=x±

2

3

．

Answer 1

分析：利用切線與直線y=3-x垂直，得到切線的斜率，也就是曲線在點M處的導數，通過計算，得出點M的坐標，再利用點斜式求出切線方程即可．

解答：解：設點M（x₀，y₀）
∵切線與直線y=3-x垂直
∴切線的斜率為1
∴曲線在點M處的導數y′=x₀²=1，即x₀=±1．
當x₀=1時，y₀=

1

3

，利用點斜式得到切線方程：y=x-

2

3

；
當x₀=-1時，y₀=-

1

3

，利用點斜式得到切線方程：y=x+

2

3

．
綜上所述：切線的方程為y=x±

2

3

．
故答案為：y=x±

2

3

點評：本題主要考查了導數的幾何意義，以及兩條直線垂直，其斜率的關系，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎題．