Question

弦AB經過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F，設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則下列敘述中，錯誤的選項是（ ）
A．當AB與x垂直時，|AB|最小
B．|AB|=x₁+x₂+p
C．以弦AB為直徑的圓與直線相離
D．y₁y₂=-p²

Answer 1

【答案】分析：根據拋物線方程可得焦點坐標，進而可設直線L的方程與拋物線聯立根據韋達定理求得x₁+x₂，x₁x₂進而得出y₁y₂根據拋物線定義可求得|AB|的表達式，整理可得|AB|=2p（1+），由于k=tana，進而可知當a=90°時AB|有最小值．
解答：解；焦點F坐標（ ，0），設直線L過F，則直線L方程為y=k（x-）
聯立y²=2px得k²x²-（pk²+2p）x+=0
由韋達定理得x₁+x₂=p+  x₁x₂=
∴y₁²y₂²=4p²x₁x₂=p⁴   y₁y₂=-p² ∴D正確
|AB|=x₁+x₂+=x₁+x₂+p=2p+=2p（1+）∴B正確
因為k=tana，所以1+=1+=
所以|AB|=
當a=90°時，即AB垂直于X軸時，AB取得最小值，最小值是|AB|=2p∴A正確
故選C
點評：本題主要考查拋物線的應用．這道題綜合了拋物線的性質、拋物線的焦點弦、直線與拋物線的關系等問題．綜合性很強．