Question

已知定義域為R的函數f（x）=

b-2x

a+2x+1

是奇函數．
（1）求a，b的值；
（2）判斷函數f（x）的單調性，并用函數的單調性定義證明；
（3）若對于任意x∈[

1

2

，3]都有f（kx²）+f（2x-1）＞0成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數單調性的判斷與證明,函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據奇函數的性質得：f（0）=0和f（-1）=-f（1），列出方程組，求出a、b的值；
（2）由（1）求出解析式并化簡，判斷出函數的單調性，再利用單調性的定義進行證明；
（3）利用奇函數的性質將不等式進行轉化，再由單調性列出關于x的不等式，由x的范圍分離出常數k，再構造函數g(x)=

1-2x

x2

，利用換元法、二次函數的性質求出函數的最小值．

解答： 解：（1）因為f（x）在定義域為R上是奇函數，所以f（0）=0，
即

-1+b

2+a

=0，解得b=1，
又由f（-1）=-f（1），即

1- 1 2

a+1

=-

1-2

a+22

，解得a=2…（4分）
（2）由（1）知f（x）=

1-2x

2+2x+1

=-

1

2

+

1

2x+1

，則f（x）在（-∞，+∞）上為減函數，
任取x₁、x₂∈R，設x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

1

2x1+1

-

1

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

因為函數y=2^x在R上是增函數，且x₁＜x₂，則2x2-2x1＞0，
又(2x1+1)(2x2+1)＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上為減函數…（8分）
（3）因為f（x）是奇函數，所以不等式：f（kx²）+f（2x-1）＞0
等價于f（kx²）＞-f（2x-1）=f（1-2x），…（8分）
因f（x）為減函數，由上式推得：kx²＜1-2x．
即對一切x∈[

1

2

，3]有：k＜

1-2x

x2

恒成立，…（10分）
設g(x)=

1-2x

x2

=

1

x2

-

2

x

，令t=

1

x

，t∈[

1

3

，2]，
則有g（t）=t²-2t，t∈[

1

3

，2]，
所以g（x）_min=g（t）_min=g（1）=1，則k＜-1，
即k的取值范圍為（-∞，-1）…（12分）

點評：本題考查函數的奇偶性與單調性的應用，二次函數的性質，以及恒成立問題轉化為求函數的最值問題，考出分離常數法、換元法、待定系數法等，綜合性較強．