Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，

1

2an+1

=

1

2an

+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證{

1

an

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若a1a2+a2a3+…+anan+1＞

16

33

，求n的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由

1

2an+1

=

1

2an

+1可得：

1

an+1

=

1

an

+2，從而可證；
（II）由（I）知an=

1

2n-1

，從而有anan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，因此可化簡為

n

2n+1

＞

16

33

，故問題得解．

解答：解：（I）由

1

2an+1

=

1

2an

+1可得：

1

an+1

=

1

an

+2所以數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列，首項(xiàng)

1

a1

=1，公差d=2
∴

1

an

=

1

a1

+(n-1)d=2n-1
∴an=

1

2n-1

（II）∵anan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴a1a2+a2a3++anan+1=

1

2

(

1

1

-

1

3

+

1

3

-

1

5

++

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

∴

n

2n+1

＞

16

33

解得n＞16

點(diǎn)評：本題主要考查構(gòu)造法證明等差數(shù)列的定義及裂項(xiàng)法求和，屬于中檔題．