Question

已知奇函數，（a＞0，且a≠1）
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）對于x∈[2，4]恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）當n≥4，且n∈N^*時，試比較a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}與2ⁿ-2的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據奇函數的定義g（x）=-g（-x）列出關于b的等式，由函數的奇偶性定義求出b的值；
（II）分當a＞1和當0＜a＜1兩種情況討論，利用分離參數法，結合導數在最大值、最小值問題中的應用來解m的取值范圍．
（Ⅲ）先得出：，再分情況討論：當n=2時，，2ⁿ-2=2，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}＞2ⁿ-2；當n=3時，，2ⁿ-2=6，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}=2ⁿ-2；當n≥4時，2ⁿ-2進行證明即可．
解答：解：（Ⅰ）由，
∴恒成立，b²=1，b=±1經檢驗b=1
（Ⅱ）由x∈[2，4]時，恒成立，
①當a＞1時
∴對x∈[2，4]恒成立
∴0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立
設g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]
則g（x）=-x³+7x²+x-7
∴當x∈[2，4]時，g'（x）＞0
∴y=g（x）在區間[2，4]上是增函數，g（x）_min=g（2）=15
∴0＜m＜15
②當0＜a＜1時
由x∈[2，4]時，恒成立，
∴對x∈[2，4]恒成立
∴m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立
設g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]
由①可知y=g（x）在區間[2，4]上是增函數，g（x）_max=g（4）=45
∴m＞45
綜上，當a＞1時，0＜m＜15；
當0＜a＜1時，m＞45
（Ⅲ）∵=
∴
當n=2時，，2ⁿ-2=2，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}＞2ⁿ-2
當n=3時，，2ⁿ-2=6，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}=2ⁿ-2
當n≥4時，2ⁿ-2
下面證明：當n≥4時，2ⁿ-2
當n≥4時，2ⁿ-2=C_n+C_n¹+C_n²++C_n^n-1+C_nⁿ-2=C_n¹+C_n²++C_n^n-1
∴當n≥4時，2ⁿ-2
n≥4時，，即2ⁿ-2
∴當n≥4時，2ⁿ-2．
點評：本題是函數性質的綜合題，本小題主要考查函數奇偶性的性質、函數奇偶性的應用、不等式的解法、導數在最大值、最小值問題中的應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．