Question

已知奇函數(shù)，（a＞0，且a≠1）
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）對于x∈[2，4]恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）當n≥4，且n∈N^*時，試比較a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}與2ⁿ-2的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）由，
∴恒成立，b²=1，b=±1經(jīng)檢驗b=1
（Ⅱ）由x∈[2，4]時，恒成立，
①當a＞1時
∴對x∈[2，4]恒成立
∴0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立
設(shè)g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]
則g（x）=-x³+7x²+x-7
∴當x∈[2，4]時，g'（x）＞0
∴y=g（x）在區(qū)間[2，4]上是增函數(shù)，g（x）_min=g（2）=15
∴0＜m＜15
②當0＜a＜1時
由x∈[2，4]時，恒成立，
∴對x∈[2，4]恒成立
∴m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立
設(shè)g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]
由①可知y=g（x）在區(qū)間[2，4]上是增函數(shù)，g（x）_max=g（4）=45
∴m＞45
綜上，當a＞1時，0＜m＜15；
當0＜a＜1時，m＞45
（Ⅲ）∵=
∴
當n=2時，，2ⁿ-2=2，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}＞2ⁿ-2
當n=3時，，2ⁿ-2=6，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}=2ⁿ-2
當n≥4時，2ⁿ-2
下面證明：當n≥4時，2ⁿ-2
當n≥4時，2ⁿ-2=C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_n^n-1+C_nⁿ-2=C_n¹+C_n²++C_n^n-1
∴當n≥4時，2ⁿ-2
n≥4時，，即2ⁿ-2
∴當n≥4時，2ⁿ-2．
分析：（I）根據(jù)奇函數(shù)的定義g（x）=-g（-x）列出關(guān)于b的等式，由函數(shù)的奇偶性定義求出b的值；
（II）分當a＞1和當0＜a＜1兩種情況討論，利用分離參數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用來解m的取值范圍．
（Ⅲ）先得出：，再分情況討論：當n=2時，，2ⁿ-2=2，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}＞2ⁿ-2；當n=3時，，2ⁿ-2=6，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}=2ⁿ-2；當n≥4時，2ⁿ-2進行證明即可．
點評：本題是函數(shù)性質(zhì)的綜合題，本小題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．