Question

【題目】已知橢圓 的右頂點為 ，離心率為 ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設過右焦點F且斜率不為0的動直線l與橢圓交于M，N兩點，過M作直線x=a2的垂線，垂足為M1 ， 求證：直線M1N過定點，并求出定點．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可得： ，離心率 ，所以橢圓C的方程為 ．…

（Ⅱ）方法1：右焦點為F（1，0），因為直線l的斜率不為0，所以可設直線方程為x=ty+1，將其代入x2+2y2﹣2=0，并化簡得：t2y2+2ty﹣1=0，

設M（x1，y1），N（x2，y2），M1（2，y1）由韋達定理得： ，即y1+y2=2ty1y2直線M1N的方程為 ，令y=0，則有 = ，

因此直線l恒過定點 …

方法2：右焦點為F（1，0），因為直線l的斜率不為0，所以可設直線方程為x=my+1，將其代入x2+2y2﹣2=0，并化簡得：（m2+2）y2+2my﹣1=0，不妨設y1＜y2，解得： 設M（x1，y1），N（x2，y2），則M1（2，y1），所以直線M1N的方程為 ，

當y=0時 = ．

當y1＞y2時，同理可得直線過定點 ．

綜上所述，直線l過定點，且該定點為 …．

【解析】（1）根據題意，即可求出橢圓方程中的a，b，c，（2）方法1：右焦點為F（1，0），設直線方程為x=ty+1，將其代入x2+2y2﹣2=0，并化簡得：t2y2+2ty﹣1=0，設M（x1，y1），N（x2，y2），M1（2，y1）由韋達定理得出直線M1N的方程，可得出該直線方程過定點（,0），方法2：右焦點為F（1，0），因為直線l的斜率不為0，所以可設直線方程為x=my+1，將其代入x2+2y2﹣2=0，并化簡得：（m2+2）y2+2my﹣1=0，不妨設y1＜y2，根據求根公式求得y1，y2，根據兩點式表示出直線M1N的方程，當y=0時，可得到x=，即該直線方程過定點（,0）.