Question

已知點 M（0，-1），F（0，1），過點M的直線l與曲線y=

1

3

x3-4x+4在x=-2處的切線平行．
（1）求直線l的方程；
（2）求以點F為焦點，l為準線的拋物線C的方程．

Answer 1

分析：（1）設函數f（x）=

1

3

x3-4x+4，可得它的導數f'（x）=x²-4，從而得到直線l的斜率為f'（2）=0，最后結合直線l經過點M（0，-1）得直線l的方程；
（2）根據題意，拋物線的開口向上，設出它的標準方程，結合焦點的坐標即可得到拋物線C的方程．

解答：解：（1）設y=

1

3

x3-4x+4=f（x），則f'（x）=x²-4
∴曲線y=

1

3

x3-4x+4在x=-2處的切線斜率k=f'（2）=0
∵過點M（0，-1）的直線l與曲線y=

1

3

x3-4x+4在x=-2處的切線平行，
∴直線l的斜率也為0，直線l的方程是：y=-1；
（2）∵拋物線C以點F（0，1）為焦點，直線l為準線
∴設拋物線方程為x²=2py，可得

p

2

=1，2p=4
因此所求拋物線的方程為x²=4y．

點評：本題給出已知曲線上一點處的切線，求與它平行的直線l的方程，并且求另一個拋物線方程，著重考查了拋物線的標準方程和導數的幾何意義等知識點，屬于基礎題．