Question

已知命題p：“?x∈[1，2]，x²-a+k≥0”，命題q：“?x₀∈R，x₀²+2ax₀+2-a=0”，
（1）若當k=0時，命題p和q都是真命題，求實數a的取值范圍；
（2）若“命題q為真命題”是“命題p為假命題”的必要不充分條件，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：求出p為真，a的范圍，q為真，a的范圍；
（1）當k=0時，命題p和q都是真命題，求出實數a的交集，即可；
（2）“命題q為真命題”是“命題p為假命題”的必要不充分條件，列出關系式，即可求實數k的取值范圍．

解答：解：若p為真，則△≥0，得a≤-2或a≥1
若q為真，則令x²-a+k≥0在[1，2]上恒成立，因為f（x）=x²-a+k在[1，2]上單調遞增，
即，f（x）_min=f（1）=1-a+k≥0所以a≤1+k
（1）k=0，p和q均為真，則得實數a的取值范圍是a≤-2或a=1
（2）p為假命題，a＞1+k
由于q為真命題是p為假命題的必要不充分條件，所以1≤1+k所以k≥0

點評：本題考查充要條件的應用，特稱命題與全稱命題的關系，考查基本知識的應用．