Question

已知函數(shù).
（Ⅰ）若函數(shù)為偶函數(shù)，求的值；
（Ⅱ）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）當時，若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2），；（3）.

試題分析：（1）據(jù)偶函數(shù)定義,得到,平方后可根據(jù)對應系數(shù)相等得到的值,也可將上式兩邊平方得恒成立,得的值；（2）當時，作出函數(shù)的圖像，即可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）先將不等式轉化為，然后利用零點分段法（三段：（））去掉絕對值,在每段上分別求解不等式的恒成立問題，可得出各段不等式恒成立時參數(shù)的取值范圍，注意在后一段時可考慮結合前一段的參數(shù)的取值范圍進行求解，避免不必要的分類，最后對三段求出的的取值范圍取交集可得參數(shù)的取值范圍.
試題解析：(1)解法一：任取，則恒成立
即恒成立          3分
∴恒成立，兩邊平方得：
∴                      5分
(1)解法二(特殊值法)：因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，得，得：      （酌情給分）
(2)若，則      8分
作出函數(shù)的圖像

由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為及      10分
(3)不等式化為
即：      (*)對任意的恒成立
因為，所以分如下情況討論：
①時，不等式(*)化為
即對任意的恒成立，
因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則只需即可，得，又
∴           12分
②時，不等式(*)化為，
即對任意的恒成立，
由①，，知：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則只需即可，即，得或
因為所以，由①得           14分
③時，不等式(*)化為
即對任意的恒成立，
因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則只需即可，
即，得或，由②得
綜上所述得，的取值范圍是           16分.