Question

已知a＞0,a≠1,設P:函數y=log_a（x+1）在x∈（0,+∞）內單調遞減；Q:曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點.如果P和Q有且只有一個正確,求a的取值范圍.

Answer 1

思路分析：本題是函數與命題的綜合題，涉及到函數的單調性和一元二次函數對應的方程的根的問題，P和Q有且只有一個正確，應分兩種情況討論分析.

解：當0＜a＜1時,函數y=log_a（x+1）在（0,+∞）內單調遞減；當a＞1時,y=log_a（x+1）在（0,+∞）內不是單調遞減.曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于兩點等價于（2a-3）²-4＞0,即或.

（1）若P正確,且Q不正確,即函數y=log_a（x+1）在（0,+∞）內單調遞減,曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸不交于兩點,因此a∈（0,1）∩（［,1）∪（1,］）,即a∈［,1）.

（2）若P不正確,且Q正確,即函數y=log_a（x+1）在（0,+∞）內不是單調遞減,曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于兩點,因此a∈（1,+∞）∩（（0,）∪（,+∞））,即a∈（,+∞）.

    綜上,a的取值范圍為［,1）∪（,+∞）.