Question

已知函數f(x)=a-

1

2x+1

．
（1）用定義證明函數f（x）在R上為增函數；
（2）若函數f（x）為奇函數，求函數f（x）在x∈[-2，1]的值域．

Answer 1

分析：（1）利用函數單調性的定義進行證明．
（2）利用函數的奇偶性得f（0）=0，解得a的值，然后利用函數的單調性求函數的值域．

解答：解：（1）設x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

1

2x2+1

-

1

2x1+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是增函數．
（2）∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（0）=0，即f（0）=a-

1

2

=0，解得a=

1

2

∴f(x)=

1

2

-

1

2x+1

．
由（1）知，f（x）在[-2，1]上是增函數，
且f(-2)=-

3

10

，f(1)=

1

6

∴函數f（x）在x∈[-2，1]的值域為[-

3

10

，

1

6

]．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用，要求熟練掌握函數奇偶性的性質和單調性的定義．