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如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1底面△ABC中,CA=CB=1,∠ACB=90°,棱AA1=2,M,N分別是A1B1,AA1的中點.
(1)求證NB⊥C1M;
(2)求cos<
BA1
CB1
>的值;
(3)求平面BNC與平面BCC1B1所成的角的余弦值.
分析:(I)根據題意,分別以CA、CB、CC1所在直線為x、y、z軸建立空間坐標系,如圖所示.從而算出
BN
C1M
的坐標,得到數量積
BN
C1M
=0.從而可得
BN
C1M
,即NB⊥C1M;
(II)由(I)的坐標系,得到向量
BA1
CB1
的坐標,利用空間向量的夾角公式加以計算,即可得到cos<
BA1
CB1
>的值;
(III)取CC1的中點H,連NH、NC.利用面面垂直的定義與性質,結合題意證出BC⊥平面AA1C1C,從而BC⊥CN,結合BC⊥C1C得∠NCH是平面BNC與平面BCC1B1所成二面角的平面角.Rt△NCH中,利用題中數據算出∠NCH大小,從而得到平面BNC與平面BCC1B1所成的角的余弦值.
解答:解:( I )∵直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°
∴CA、CB、CC1兩兩互相垂直,
因此,分別以CA、CB、CC1所在直線為x、y、z軸建立空間坐標系,如圖所示.
則A(1,0,0),B(0,1,0),A1 (1,0,2),B1 ( 0,1,2),
C1(0,0,2),M(
1
2
1
2
,2),N(1,0,1),
BN
=(1,-1,1),
C1M
=(
1
2
1
2
,0),
BN
C1M
=1×
1
2
+(-1)×
1
2
+1×0=0,
可得
BN
C1M
,即NB⊥C1M;
(II)由(I)得:
BA1
=(1,-1,2),
CB1
=( 0,1,2). 
∴cos<
BA1
CB1
>=
BA1
CB1
|BA1|
|CB1|
=
1×0+(-1)×1+2×2
6
5
=
30
10

即cos<
BA1
CB1
>的值為
30
10

(III)取CC1的中點H,連線NH、NC,則NH∥CA
∵∠BCA=90°,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA是A-CC1-B的平面角
∴平面AA1C1C⊥平面BB1C1C,
結合BC⊥CC1可得BC⊥平面AA1C1C,得BC⊥CN
∴∠NCH就是平面BNC與平面BCC1B1所成二面角的平面角
Rt△NCH中,NH=1,CH=
1
2
CC1=1,所以∠NCH=45°
因此,平面BNC與平面BCC1B1所成的角的余弦值等于cos45°=
2
2
點評:本題在直三棱柱中求線線垂直、求異面直線所成角并求二面角的大小.著重考查了直棱柱的性質、利用空間坐標系研究線線角和面面角等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=
2
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(1)求直線BE與A1C所成的角;
(2)在線段AA1中上是否存在點F,使CF⊥平面B1DF,若存在,求出|
AF
|;若不存在,說明理由.

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(Ⅱ)求異面直線AC與A1D所成角的大小;
(Ⅲ)證明:直線A1D⊥平面ADC.

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同步練習冊答案
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