Question

【題目】如圖，正方形所在的平面與平面垂直，是和的交點，，且．

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ)求二面角的大小．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 見解析.(Ⅱ) 60°.

【解析】分析：由題意，以點A為原點，以過A點平行于BC的直線為x軸，分別以直線AC和AE為y軸和z軸，建立空間直角坐標系A-xyz．則：

(Ⅰ)由空間向量的運算法則可得：,，據此可得平面；

(Ⅱ)由題意可得平面EAB的一個法向量為，平面EBC的一個法向量為，據此計算可得：二面角的大小為60°.

詳解：∵四邊形是正方形 ，

，∵平面平面，

平面，

∴可以以點為原點，以過點平行于的直線為軸，分別以直線和為軸和軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

設，則，

∵是正方形的對角線的交點，．

(Ⅰ)，，，

，

平面．

(Ⅱ)設平面的法向量為，

則且，

且．

即

取，則， 則．

又∵為平面的一個法向量，且，

，

設二面角的平面角為，則，．

∴二面角等于．