Question

（2012•泰安一模）已知數列{a_n}是等差數列，滿足a₂=5，a₄=13．數列{b_n}的前n項和是T_n，且T_n+b_n=3．
（1）求數列{a_n}及數列{b_n}的通項公式；
（II）若c_n=a_n•b_n，試比較c_n與c_n+1的大小．

Answer 1

分析：（Ι）由數列{a_n}為等差數列，根據a₂=5，a₄=13，利用等差數列的性質求出公差d的值，進而由a₂及d的值，可得出等差數列{a_n}的通項公式，當n=1時，T₁=b₁，根據T_n+b_n=3①，得到b₁的值，再由數列的遞推式得到T_n-T_n-1=b_n，由T_n-1+b_n-1=3，記作②，①-②得到b_n=

1

2

b_n-1，可確定出此數列為公比為

1

2

的等比數列，寫出{b_n}的通項公式即可；
（II）將第一問得到的數列{a_n}及數列{b_n}的通項公式代入c_n=a_n•b_n，整理后，表示出c_n-c_n-1，令c_n-c_n-1=0，求出n的值，可得出c_n-c_n-1大于0及小于0時n的范圍，進而得出n為1或2時，c_n＞c_n-1；當n≥3時，c_n＜c_n-1．

解答：解：（Ι）∵數列{a_n}是等差數列，滿足a₂=5，a₄=13，
∴公差d=

a4-a2

2

=4，
∴a_n=a₂+（n-2）d=4n-3，
∵數列{b_n}的前n項和是T_n，T_n+b_n=3①，
∴當n=1時，T₁=b₁，即b₁=

3

2

；
當n≥2時，T_n-T_n-1=b_n，由題意可得T_n-1+b_n-1=3②，
①-②得：2b_n-b_n-1=0，即b_n=

1

2

b_n-1，即公比q=

1

2

，
∴b_n=

3

2

•（

1

2

）^n-1；
（II）∵a_n=4n-3，b_n=

3

2

•（

1

2

）^n-1，
∴c_n=a_n•b_n=（4n-3）•

3

2

•（

1

2

）^n-1=（6n-

9

2

）•（

1

2

）^n-1，
令c_n-c_n+1=（6n-

9

2

）•（

1

2

）^n-1-（6n+6-

9

2

）•（

1

2

）ⁿ=（

1

2

）^n-1（6n-

9

2

-3n-3+

9

4

）=（

1

2

）^n-1（3n-

21

4

）=0，
解得：n=

21

12

，
則n=2時，c_n＞c_n+1；當n≥3時，c_n＜c_n+1．

點評：此題考查了等差數列的性質，等比數列的確定，等差、等比數列的通項公式，以及作差法的運用，熟練掌握性質及公式是解本題的關鍵．