Question

（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
（A）（選修4-4坐標系與參數方程）已知點A是曲線ρ=2sinθ上任意一點，則點A到直線ρsin(θ+

π

3

)=4的距離的最小值是

5

2

．
（B）（選修4-5不等式選講）已知2x+y=1，x＞0，y＞0，則

x+2y

xy

的最小值是

9

．
（C）（選修4-1幾何證明選講）若直角△ABC的內切圓與斜邊AB相切于點D，且AD=1，BD=2，則△ABC的面積為

2

．

Answer 1

分析：（A）把極坐標方程化為普通方程，利用點到直線的距離公式求出圓心（0，1）到直線的距離，此距離減去半徑即為所求．
（B）先對

x+2y

xy

=

1

y

+

2

x

再將它乘以1結果保持不變，將2x+y=1看為一個整體代入得（

1

y

+

2

x

）×1=（

1

y

+

2

x

）×（2x+y），再展開后運用基本不等式可求得最小值．
（C）設內切圓半徑為r，由勾股定理可得（1+r）²+（2+r）²=9，可得r²+3r=2，再根據△ABC的面積為

1

2

×（1+r）（2+r），運算求得結果．

解答：解：（A）曲線ρ=2sinθ化為直角坐標方程為x²+（y-1）²=1，直線ρsin（θ+

π

3

）=4化為直角坐標方程為

3

x+y-8=0．
圓心（0，1）到直線的距離為 d=

|0+1-8|

3+1

=

7

2

．則圓上的點到直線的最小距離為

7

2

-1=

5

2

．
即點A到直線ρsin（θ+

π

3

）=4的最小距離為

5

2

．
（B）解：∵2x+y=1，
∴

x+2y

xy

=

1

y

+

2

x

=（

1

y

+

2

x

）×（2x+y）=5+

2x

y

+

2y

x

≥5+4=9
當且僅當

2x

y

=

2y

x

時等號成立，
則

x+2y

xy

的最小值是 9．
（C）由于直角△ABC的內切圓與斜邊AB相切于點D，且AD=1，BD=2，設內切圓半徑為r，
則由勾股定理可得（1+r）²+（2+r）²=9，∴r²+3r=2．
△ABC的面積為

1

2

×（1+r）（2+r）=

1

2

（r²+3r+2）=2，
故答案為：

5

2

；9；2．

點評：A：本題考查把極坐標方程化為普通方程的方法，點到直線的距離公式的應用，直線和圓的位置關系．
B：本題考查基本不等式常見的變形形式與運用，如本題中，1的代換．在運用基本不等式時，要注意“一正、二定、三相等”的要求．
C：本題主要考查絕對值不等式的解法，直線和圓相交的性質，圓的切線性質、圓的參數方程，以及三角形中的幾何計算，屬于中檔題．