Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

2

=1的左右焦點分別為F₁、F₂，過F₂且傾角為45°的直線l交橢圓于A，B兩點，對以下結論：
①△ABF₂的周長為8；
②原點到l的距離為1；
③|AB|=

8

3

；
其中正確的結論有幾個（　　）

A．3

B．2

C．1

D．0

Answer 1

分析：①由橢圓的定義，得AF₁+AF₂=2a，BF₁+BF₂=2a，又AF₁+BF₁=AB，所以，△ABF₂的周長=AB+AF₂+BF₂=4a．再由a²=4，能導出△ABF₂的周長．②由F₁（-1，0），AB的傾斜角為

π

4

，知直線AB的方程為y=x+

2

．由

y=x+ 2 x2 4 + y2 2 =1

消去y，得關于x的方程，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），借助韋達定理能夠求出AB的長．

解答：解：①由橢圓的定義，
得AF₁+AF₂=2a，BF₁+BF₂=2a，
又AF₁+BF₁=AB，
所以，△ABF₂的周長=AB+AF₂+BF₂=4a．
又因為a²=4，
所以a=2，
故△ABF₂的周長為8．（6分）
②由條件，得F₁（-

2

，0），
因為過F₂且傾角為45°的直線l斜率為1，
故直線l的方程為y=x+

2

．（8分）
原點到l的距離為d=

| 2 |

2

=1，故②正確；
由

y=x+ 2 x2 4 + y2 2 =1

，
消去y，得3x²+4

2

x=0，（10分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
解得 x1+x2=-

4 2

3

，x1•x2=0．
所以 |AB|=

1+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

8

3

（14分）
故③正確．
故選A．

點評：本題考查三角形周長的求法和弦長的計算，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，靈活運用橢圓的性質，注意橢圓定義、韋達定理在解題中的合理運用．