Question

已知橢圓

x2

4

+y2=1的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B，直線x=t（-2＜t＜2）與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，經(jīng)過三點(diǎn)A，M，N的圓與經(jīng)過三點(diǎn)B，M，N的圓分別記為圓C₁與圓C₂．
（1）求證：無論t如何變化，圓C₁與圓C₂的圓心距是定值；
（2）當(dāng)t變化時(shí)，求圓C₁與圓C₂的面積的和S的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知A的坐標(biāo)（-2，0），B的坐標(biāo)（2，0），M的坐標(biāo)(t，

4-t2

2

)，N的坐標(biāo)(t，-

4-t2

2

)，線段AM的中點(diǎn)P(

t-2

2

，

4-t2

4

)，由此能夠推導(dǎo)出無論t如何變化，為圓C₁與圓C₂的圓心距是定值．
（2）圓C₁的半徑為|AC₁|=

3t+10

8

，圓C₂的半徑為|BC2|=

10-3t

8

，則S=π|AC1|2+π|BC2|2=

π

32

(9t2+100)（-2＜t＜2）
由此能夠求出圓C₁與圓C₂的面積的和S的最小值．

解答：解：（1）易得A的坐標(biāo)（-2，0），B的坐標(biāo)（2，0），
M的坐標(biāo)(t，

4-t2

2

)，N的坐標(biāo)(t，-

4-t2

2

)，線段AM的中點(diǎn)P(

t-2

2

，

4-t2

4

)，
直線AM的斜率k1=

4-t2 2

t+2

=

1

2

2-t 2+t

（3分）
又PC₁⊥AM，∴直線PC₁的斜率k2=-2

2+t 2-t

∴直線PC₁的方程y=-2

2+t 2-t

(x-

t-2

2

)+

4-t2

4

，∴C₁的坐標(biāo)為(

3t-6

8

，0)
同理C₂的坐標(biāo)為(

3t+6

8

，0)（7分）∴|C1C2|=

3

2

，
即無論t如何變化，為圓C₁與圓C₂的圓心距是定值．（9分）
（2）圓C₁的半徑為|AC₁|=

3t+10

8

，圓C₂的半徑為|BC2|=

10-3t

8

，
則S=π|AC1|2+π|BC2|2=

π

32

(9t2+100)（-2＜t＜2）
顯然t=0時(shí)，S最小，Smin=

25π

8

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．