Question

在平面直角坐標系中，已知A_n（n，a_n）、B_n（n，b_n）、C_n（n-1，0）（n∈N^*），滿足向量

AnAn+1

與向量

BnCn

共線，且點B_n（n，b_n）（n∈N^*）都在斜率為6的同一條直線上，若a₁=6，b₁=12．求：
（1）數列{a_n}的通項a_n；
（2）數列{

1

an

}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）先根據點B_n（n，b_n）（n∈N*）都在斜率為6的同一條直線上，得出

bn+1-bn

(n+1)-n

=6，即b_n+1-b_n=6，從而得出數列{b_n}是等差數列，結合向量共線條件得出a_n+1-a_n=bn最后利用分組求和的方法即可求得數列{a_n}的通項a_n；
（2）由于

1

an

=

1

3

(

1

n

-

1

n+1

)，利用逐差求和法即可求得數列{

1

an

}的前n項和T_n．

解答：解：（1）∵點B_n（n，b_n）（n∈N*）都在斜率為6的同一條直線上，
∴

bn+1-bn

(n+1)-n

=6，
即b_n+1-b_n=6，
于是數列{b_n}是等差數列，
故b_n=12+6（n-1）=6n+6．
∵

AnAn+1

=(1，an+1-an)，

BnCn

=(-1，-bn)，又

AnAn+1

與

BnCn

共線．
∴1×（-b_n）-（-1）（a_n+1-a_n）=0，
即a_n+1-a_n=bn
∴當n≥2時，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a₁+b₁+b₂+b₃+…+b_n-1
=a₁+b₁（n-1）+3（n-1）（n-2）=3n（n+1）
當n=1時，上式也成立．
所以a_n═3n（n+1）．
（2）

1

an

=

1

3

(

1

n

-

1

n+1

)，
Tn=

1

3

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

1

3

(1-

1

n+1

)=

n

3n+3

．

點評：本題考查了等比數列的定義，通項公式及前n項和公式、數列與向量的綜合，綜合運用了逐差求和法和分組求和法，難度一般．