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已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為4的正方形,PD⊥底面ABCD,PD=6,M,N分別為PB,AB的中點,設AC和BD相交于點O
(Ⅰ)證明:OM∥底面PAD;
(Ⅱ)若DF⊥PA且交PA于F點,證明DF⊥平面PAB;
(Ⅲ)求四面體D-MNB的體積
分析:(Ⅰ)要證明:OM∥底面PAD,只要證明OM∥PD即可.
(Ⅱ)要證明DF⊥平面PAB;已知DF⊥PA,證明DF⊥AB即可.
(Ⅲ)求四面體D-MNB的體積,直接求出底面MNB的面積,再求D到底面MNB的距離即可.
解答:解:(Ⅰ)由已知易知OM是△BDP的中位線,
∴OM∥PD.
∵OM?面PAD,PD?面PAD
∴OM∥面PAD
(另證:也可先證明平面OMN∥平面DPA)
(Ⅱ)PD⊥底面ABCD,
∴AB⊥PD,又AB⊥AD,AD∩PD=D
∴AB⊥平面PAD,又AB?平面PAB,
∴平面PAD⊥平面PAB,
又平面PAD∩平面PAB=PA,DF⊥PA,DF?平面PAD,
∴DF⊥平面PAB
(Ⅲ)由(Ⅱ)知DF⊥平面PAB,
∴四面體D-MNB的高為DF,
在Rt△PDA中,DF=
DA•DP
DA2+DP2
=
12
13
13

由AB⊥平面PAD,得AB⊥PA,又MN∥PA,
∴MN⊥NB,AP=
DA2+DP2
=
42+62
=
52
=2
13

S△BMN=
1
2
BN•MN=
1
2
AB
2
AP
2
=
13
VD-MNB=
1
3
S△MNB•DF
=
1
3
.
12
13
13
13
=4
點評:本題考查空間直線與直線、平面的位置關系,棱錐的體積,考查空間想象能力,是中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,e為PC的中點,F為AD的中點.
(Ⅰ)證明EF∥平面PAB;
(Ⅱ)證明EF⊥平面PBC;
(III)點M是四邊形ABCD內的一動點,PM與平面ABCD所成的角始終為45°,求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=2CD=2,PB=PC,側面PBC⊥底面ABCD,O是BC的中點.
(1)求證:PO⊥平面ABCD;
(2)求證:PA⊥BD
(3)若二面角D-PA-O的余弦值為
10
5
,求PB的長.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,E為BC中點,AE與BD交于O點,AB=BC=2CD=2,BD⊥PE.
(1)求證:平面PAE⊥平面ABCD; 
(2)若直線PA與平面ABCD所成角的正切值為
5
2
,PO=2,求四棱錐P-ABCD的體積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,E是線段PC上一點,PC⊥平面BDE.
(Ⅰ)求證:BD⊥平面PAB.
(Ⅱ)若PA=4,AB=2,BC=1,求直線AC與平面PCD所成角的正弦值.

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科目:高中數學 來源:2010-2011學年山東省濟寧一中高三(上)期末數學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,e為PC的中點,F為AD的中點.
(Ⅰ)證明EF∥平面PAB;
(Ⅱ)證明EF⊥平面PBC;
(III)點M是四邊形ABCD內的一動點,PM與平面ABCD所成的角始終為45°,求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積.

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