Question

如果f（x）在某個區(qū)間I內(nèi)滿足：對任意的x₁，x₂∈I，都有，則稱f（x）在I上為下凸函數(shù)；已知函數(shù)．
（Ⅰ）證明：當a＞0時，f（x）在（0，+∞）上為下凸函數(shù)；
（Ⅱ）若f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且時，|f'（x）|＜1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）任取x₁，x₂∈（0，+∞），則==，…（2分）
，…（3分）
∵x₁²+x₂²≥2x₁x₂，∴（x₁+x₂）²≥4x₁x₂，
又，…（5分）
又，
∴，
即．
∴f（x）為（0，+∞）上的下凸函數(shù)…（7分）
答：f（x）為（0，+∞）上的下凸函數(shù)
（Ⅱ）先對所給的函數(shù)求導(dǎo)得到，…（9分）
∵，
∴，…（11分）
∵恒成立，
設(shè)
則有g(shù)_max（x）＜a＜h_min（x），
又在上為增函數(shù)，在[1，2]上為減函數(shù)
∴g_max（x）=g（1）=-2…（12分），
而在上為增函數(shù)，
∴…（13分）
∴…（14分）
答：實數(shù)a的取值范圍是（-2，-）
分析：（Ⅰ）由題設(shè)中的定義知，可先得出與的展開式，整理成最簡形式，根據(jù)題設(shè)條件判斷出即可證明出結(jié)論；
（II）由題意f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且時，|f'（x）|＜1可得出，由于在時，此不等式恒成立，故可構(gòu)造出兩個函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為g_max（x）＜a＜h_min（x），根據(jù)兩函數(shù)的單調(diào)性求出g_max（x）與h_min（x），即可得到a的取值范圍．
點評：本題是一個新定義的題，考查了利用新定義證明，利用不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，理解新定義，將恒成立的問題進行正確轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，利用導(dǎo)數(shù)求最值是導(dǎo)數(shù)的重要運用，本題用到了轉(zhuǎn)化的思想，函數(shù)的思想，是綜合性較強的題，可能因為找不到問題的轉(zhuǎn)化方向而無法下手．