Question

如果f（x）在某個區間I內滿足：對任意的x₁，x₂∈I，都有，則稱f（x）在I上為下凸函數；已知函數．
（Ⅰ）證明：當a＞0時，f（x）在（0，+∞）上為下凸函數；
（Ⅱ）若f'（x）為f（x）的導函數，且時，|f'（x）|＜1，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設中的定義知，可先得出與的展開式，整理成最簡形式，根據題設條件判斷出即可證明出結論；
（II）由題意f'（x）為f（x）的導函數，且時，|f'（x）|＜1可得出，由于在時，此不等式恒成立，故可構造出兩個函數，將問題轉化為g_max（x）＜a＜h_min（x），根據兩函數的單調性求出g_max（x）與h_min（x），即可得到a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）任取x₁，x₂∈（0，+∞），則==，…（2分）
，…（3分）
∵x₁²+x₂²≥2x₁x₂，∴（x₁+x₂）²≥4x₁x₂，
又，…（5分）
又，
∴，
即．
∴f（x）為（0，+∞）上的下凸函數…（7分）
答：f（x）為（0，+∞）上的下凸函數
（Ⅱ）先對所給的函數求導得到，…（9分）
∵，
∴，…（11分）
∵恒成立，
設
則有g_max（x）＜a＜h_min（x），
又在上為增函數，在[1，2]上為減函數
∴g_max（x）=g（1）=-2…（12分），
而在上為增函數，
∴…（13分）
∴…（14分）
答：實數a的取值范圍是（-2，-）
點評：本題是一個新定義的題，考查了利用新定義證明，利用不等式恒成立求參數的取值范圍，理解新定義，將恒成立的問題進行正確轉化是解題的關鍵，利用導數求最值是導數的重要運用，本題用到了轉化的思想，函數的思想，是綜合性較強的題，可能因為找不到問題的轉化方向而無法下手．