Question

如圖，已知平行六面體ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°.

（1）證明：C₁C⊥BD；

（2）假定CD=2，CC₁=，記面C₁BD為α，面CBD為β，求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；

（3）當的值為多少時，能使A₁C⊥平面C₁BD？請給出證明.

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）證明：設=a，=b，=c，則|a|=|b|，∵=b－a， ∴·=（b－a）·c=b·c－a·c=|b|·|c|cos60°－|a|·|c|cos60°=0， ∴C1C⊥BD. （2）解：連AC、BD，設AC∩BD=O，連OC1，則∠C1OC為二面角α—BD—β的平面角. ∵（a+b），（a+b）－c ∴·（a+b）·［（a+b）－c］ =（a2+2a·b+b2）－a·c－b·c =（4+2·2·2cos60°+4）－·2·cos60°－·2·cos60°=. 則||=，||=，∴cosC1OC= （3）解：設=x，CD=2， 則CC1=. ∵BD⊥平面AA1C1C，∴BD⊥A1C ∴只須求滿足：=0即可. 設=a，=b，=c， ∵=a+b+c，=a－c， ∴=（a+b+c）（a－c）=a2+a·b－b·c－c2=－6，令6－=0，得x=1或x=－（舍去）.