Question

如圖，已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁（底面是平行四邊形的四棱柱）
①求證：平面AB₁D₁∥平面BDC₁；
②若平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁各棱長相等且AB⊥平面BCC₁B₁，E為CD的中點，AC₁∩BD₁=0，求證：OE⊥平面ABC₁D₁．

Answer 1

分析：（1）由BB1

∥

.

DD1，知四邊形BDD₁B₁是平行四邊形，所以B₁D₁∥平面BDC₁，同理，AD₁∥平面BDC₁，由此能夠證明平面AB₁D₁∥平面BDC₁．
（2）連接B₁C，交BC₁于M點，連接OM，由BC=BB₁，四邊形BCC₁B₁是平行四邊形，知BC₁⊥B₁C，M是BC₁的中點，由AB⊥平面BCC₁B₁，知平面ABC₁D₁⊥平面BCC₁B₁，由此能夠證明OE⊥平面ABC₁D₁．

解答：證明：（1）∵平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB1

∥

.

DD1，
∴四邊形BDD₁B₁是平行四邊形，
∴B₁D₁∥BD，
又∵B₁D₁?平面BDC₁，
∴B₁D₁∥平面BDC₁，
同理，AD₁∥平面BDC₁，
又∵BD₁∩AD₁=D₁，
∴平面AB₁D₁∥平面BDC₁．
（2）連接B₁C，交BC₁于M點，連接OM，
∵BC=BB₁，四邊形BCC₁B₁是平行四邊形，
∴BC₁⊥B₁C，M是BC₁的中點，
∵AB⊥平面BCC₁B₁，
∴平面ABC₁D₁⊥平面BCC₁B₁，
∴B₁C⊥平面ABC₁D₁，即MC⊥平面ABC₁D₁，
又四邊形ABC₁D₁是平行四邊形
∴O是BD₁的中點∴OM

∥ .

.

1

2

D1C1
又EC

∥ .

.

1

2

D1C1∴OM

∥ .

.

EC
∴四邊形OMCE是平行四邊形
∴OE∥MC，
∴OE⊥平面ABC₁D₁．

點評：本題考查平在與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，解題時要認真審題，合理地化空間問題為平面問題，注意空間思維能力的培養．