Question

設函數，x∈R，其中|t|≤1，將f（x）的最小值記為g（t）．
（Ⅰ）求g（t）的表達式；
（Ⅱ）討論g（t）在區間（-1，1）內的單調性并求極值．

Answer 1

解：（ I）由于=sin²x-2t•sinx+t²+4t³-3t+3
=（sinx-t）²+4t³-3t+3．
由于（sinx-t）²≥0，|t|≤1，故當sinx=t時，f（x）取得其最小值g（t），即g（t）=4t³-3t+3． …（6分）
（ II）我們有g′（t）=12t²-3=3（2t+1）（2t-1）．列表如下：

t	（-1，-）	-	（-，）		（，1）
g′（t）	+	0	-	0	+
g（t）	↗	極大值	↘	極小值	↗

由此可見，g（t）在區間和單調增加，在區間單調減小，
極小值為，極大值為． …（12分）
分析：（ I）利用三角函數的恒等變換化簡函數的解析式，利用二次函數的性質可得g（t）的解析式．
（ II）由于g′（t）=3（2t+1）（2t-1），由此求得函數的單調區間，由單調區間求得函數的極值．
點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，二次函數的性質，利用導數研究函數的單調性，利用單調性求極值，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．