Question

已知雙曲線x²-y²=2的左、右焦點分別為F₁，F₂，過點F₂的動直線與雙曲線相交于A，B兩點．
（I）若動點M滿足（其中O為坐標原點），求點M的軌跡方程；
（II）在x軸上是否存在定點C，使•為常數？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據條件求出左、右焦點的坐標，并設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），然后表示出向量，，，，根據可得到x₁，x₂，x以及y₁，y₂，y的關系，即可表示出AB的中點坐標，然后分AB不與x軸垂直和AB與x軸垂直兩種情況進行討論．

（2）假設在x軸上存在定點C（m，0），使為常數，當AB不與x軸垂直時，設出直線AB的方程，然后與雙曲線方程聯立消去y得到關于x的一元二次方程，進而可得到兩根之和與兩根之積，表示出向量•并將所求的兩根之和與兩根之積代入整理即可求出C的坐標；當AB與x軸垂直時可直接得到A，B的坐標，再由=-1，可確定答案．
解答：解：由條件知F₁（-2，0），F₂（2，0），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（I）設M（x，y），則，，，
由，得，即，
于是AB的中點坐標為，
當AB不與x軸垂直時，，即，
又因為A，B兩點在雙曲線上，所以x₁²-y₁²=2，x₂²-y₂²=2，
兩式相減得（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），即（x₁-x₂）（x-4）=（y₁-y₂）y，
將代入上式，化簡得（x-6）²-y²=4，
當AB與x軸垂直時，x₁=x₂=2，求得M（8，0），也滿足上述方程，
所以點M的軌跡方程是（x-6）²-y²=4．

（II）假設在x軸上存在定點C（m，0），使為常數，
當AB不與x軸垂直時，設直線AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1），
代入x²-y²=2有（1-k²）x²+4k²x-（4k²+2）=0
則x₁，x₂是上述方程的兩個實根，所以，，
于是
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+4k²+m²
=
=
=．
因為是與k無關的常數，所以4-4m=0，即m=1，此時=-1，
當AB與x軸垂直時，點A，B的坐標可分別設為，，
此時，
故在x軸上存在定點C（1，0），使為常數．
點評：本題主要考查直線與雙曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合題是高考的熱點問題，每年必考，要強化復習．