Question

給出以下幾個(gè)命題：
①由曲線y=x²與直線y=2x圍成的封閉區(qū)域的面積為

4

3

；
②已知點(diǎn)A是定圓C上的一個(gè)定點(diǎn)，線段AB為圓的動(dòng)弦，若

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓；
③把5本不同的書分給4個(gè)人，每人至少1本，則不同的分法種數(shù)為A₅⁴•A₄¹=480種；
④若直線l∥平面α，直線l⊥直線m，直線l?平面β，則β⊥α．
其中，正確的命題有

 

．（將所有正確命題的序號(hào)都填在橫線上）

Answer 1

分析：曲線y=x²與直線y=2x圍成的封閉區(qū)域的面積為A，則利用定積分求出即可；

解答：解：聯(lián)立曲線y=x²與直線y=2x得：x=0，y=0；x=2，y=4．設(shè)y=x²與直線y=2x圍成的封閉區(qū)域的面積為A，
則∫₀²2x-x²dx=x²-

1

3

x³|₀²=

4

3

，所以①正確；
根據(jù)圖象設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，根據(jù)向量求和法則求出

1

2

(

OA

+

OB

)，由

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)得

OQ

的軌跡為圓，②正確；
把5本不同的書分給4個(gè)人，每人至少1本，則不同的分法種數(shù)為c₅⁴•c₅¹=25，③錯(cuò)；
顯然若直線l∥平面α，直線l⊥直線m，直線l?平面β，β不一定垂直于α，④錯(cuò)；
故答案為①②

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用定積分求圖形面積的能力，排列數(shù)公式的推導(dǎo)能力，圓的軌跡方程的求法，以及平面與平面垂直的判斷能力．