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設，是橢圓 上的兩點，已知向量m，n，若mn且橢圓的離心率，短軸長為2，為坐標原點。

（1）求橢圓的方程；

（2）試問：的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由。

 

 

【答案】

 

(1) 

(2)  1

【解析】

解：（Ⅰ）∵由題意知，， 

則，    ∴橢圓的方程為   ………………4分

    (2)①當直線斜率不存在時，即，由

               得

            又在橢圓上， 所以

               

         所以三角形的面積為定值.                        ………………6分

          ②當直線斜率存在時：設的方程為

          

        必須 即

        得到， 

         ∵，∴

        代入整理得： 

          

           …………………12分

         所以的面積為定值.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
3
2
，短軸長為2．設A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），是橢圓上的兩點，向量
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，且
m
.
n
=0，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

以O為原點，
OF
所在直線為x軸，建立直角坐標系．設
OF
•
FG
=1，點F的坐標為（t，0），t∈[3，+∞）．點G的坐標為（x0，y0）．
（1）求x0關于t的函數x0=f（t）的表達式，并判斷函數f（x）的單調性．
（2）設△OFG的面積S=
31
6
t，若O以為中心，F，為焦點的橢圓經過點G，求當|
OG
|取最小值時橢圓的方程．
（3）在（2）的條件下，若點P的坐標為(0，
9
2
)，C，D是橢圓上的兩點，
PC
=λ
PD
(λ≠1)，求實數λ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年重慶一中高三考前最后一次考試理數試卷 題型：解答題

(本小題滿分12分)

  設A,B是橢圓上的兩點，為坐標原點.

 （Ⅰ）設，,

  .求證:點M在橢圓上;

 （Ⅱ）若,求的最小值.

 

 

 

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科目：高中數學 來源：河北省2010年高考適應性測試數學試卷理 題型：解答題

設是橢圓上的兩點，已知向量,若且橢圓的離心率e=,短軸長為，為坐標原點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由

 

 

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