Question

如圖，邊長為2的正方形ABCD所在平面為α，PA⊥平面α，PA=2，M、N分別是AD、BC的中點，MQ⊥PD于Q．
（1）求證平面PMN⊥平面PAD；
（2）二面角P-MN-Q的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要證平面PMN⊥平面PAD，只需證MN⊥平面PAD即可；
（2）由（1）可知：MN⊥平面PAD，從而PMQ是二面角P-MN-Q的平面角，故可求．

解答：解：（1）正方體ABCD中，∵A、N分別是AD、BC的中點，∴MN⊥AD
又∵PA⊥平面α，MN?α，∴PA⊥MN，∴MN⊥平面PAD
又MN?平面PAD，平面PMN⊥平面PAD…（5分）
（2）由上可知：MN⊥平面PAD
∴PM⊥MN，QM⊥MN，∠PMQ是二面角P-MN-Q的平面角．…（8分）
PA=2，AD=2，則AM=1，PM=

5

PD=2

2

，MQ=

MD•PA

PD

=

2

2

cos∠PMQ=

MQ

PM

=

10

10

…（12分）

點評：本題以線面垂直為載體，考查面面垂直，關(guān)鍵是尋找線面垂直，考查面面角，關(guān)鍵是得出表示面面角的平面角．