Question

已知二次函數f（x）滿足f（-2+k）=f（-2-k）（k∈R），且該函數與y軸交于點（0，1），在x軸上截得的線段長為2

2

．
（1）求該二次函數的解析式；
（2）求不等式f（x）≤0的解集．

Answer 1

分析：（1）先設出二次函數的解析式，由圖象在y軸上截距為1，可求得c，再由被x軸截得的線段長為2

2

和對稱軸方程為可得關于a，b的兩個關系式進而求解．
（2）按照一元二次不等式解法解出即可．

解答：解：設二次函數為：y=ax²+bx+c
∵圖象與y軸交于點（0，1），
∴c=1
此時y=ax²+bx+1
∵f（-2+k）=f（-2-k）∴對稱軸方程為x=-2
∴-

b

2a

=-2
∵被x軸截得的線段長為2

2

，
|x₂-x₁|²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂=8
即(-

b

a

)2-

4

a

=8
∴a=

1

2

，b=2
∴二次函數的解析式為y=

1

2

x²+2x+1
（2）不等式f（x）≤0即為

1

2

x²+2x+1≤0
由

1

2

x²+2x+1=0得x=-2-

2

或x=-2+

2

∴

1

2

x²+2x+1≤0的解集為{x|-2-

2

≤x≤-2+

2

}

點評：本題考查二次函數的圖象和性質，一元二次不等式解法．對于二次函數圖象要從以下幾個方面把握：開口方向，對稱軸，與坐標軸交點情況．二次函數圖象涉及到與y軸的交點可得c，方程的根可得區間長度，對稱軸可知a，b的關系等．