Question

設a、b為正實數．現有下列命題：
①若a²-b²=1，則a-b＜1；
②若|a³-b³|=1，則|a-b|＜1；
③若|

a

-

b

|=1，則|a-b|＜1；
④若

1

b

-

1

a

=1，則a-b＜1．
其中的真命題有

①②

．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

分析：由不等式的基本性質和實數的有關理論及因式分解即可判斷出是否正確．

解答：解：①∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，又∵（a-b）（a+b）=1，∴a+b＞1＞a-b＞0，故正確；
②∵a＞0，b＞0，∴a²+ab+b²＞a²-2ab+b²=（a-b）²，
∴1=|a³-b³|=|a-b||a²+ab+b²|＞|a-b|³，∴|a-b|＜1，正確；
③∵|a-b|=(

a

+

b

)|

a

-

b

|，|

a

-

b

|=1，∴|a-b|=|

a

+

b

|＞|

a

-

b

|=1，故③不正確；
④令a=100，b=

100

101

，滿足

1

b

-

1

a

=1，但是a-b＞1，因此不正確．
綜上可知：真命題是①②．
故答案為①②．

點評：正確理解不等式的基本性質是解題的關鍵．