Question

設函數f(x)定義在(0，＋∞)上，f(1)＝0，導函數

(Ⅰ)求g(x)的單調區間和最小值；

(Ⅱ)討論g(x)與的大小關系；

(Ⅲ)是否存在x₀＞0，使得|g(x)－g(x₀)|＜對任意成立？若存在，求出x₀的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解(Ⅰ)由題設易知，， 　　，令得， 　　當時，，故(0，1)是的單調減區間， 　　當時，，故是的單調增區間， 　　因此，是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以最小值為． 　　(Ⅱ)， 　　設，則， 　　當時，，即， 　　當時，， 　　因此，在內單調遞減， 　　當時，，即， 　　當時，，即． 　　(Ⅲ)滿足條件的x0不存在． 　　證明如下： 　　證法一：假設存在，使對任意成立， 　　即對任意x＞0，有，(*) 　　但對上述x0，取時，有，這與(*)左邊不等式矛盾， 　　因此，不存在，使對任意成立． 　　證法二：假設存在，使對任意的成立． 　　由(Ⅰ)知，g(x)的最小值為． 　　又，而時，的值域為， 　　∴時，的值域為， 　　從而可取一個，使， 　　即，故，與假設矛盾． 　　∴不存在，使對任意成立．