Question

如圖，四邊形ABEF和四邊形ABCD均是直角梯形，∠FAB=∠DAB=90°，AF=AB=BC=2，AD=1，FA⊥CD．
（Ⅰ）證明：在平面EBC上，一定存在過C的直線l與直線FD平行；
（Ⅱ）求二面角F-CD-A的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面、面面平行的判定和性質定理即可證明；
（Ⅱ）利用相似三角形的性質、三垂線定理、線面角的定義即可得出．

解答：（Ⅰ）證明：由已知得，BE∥AF，BC∥AD，BE∩BC=B，AD∩AF=A，
∴平面BCE∥平面ADF．
設平面DFC∩平面BCE=l，則l過C點．
∵平面BCE∥平面ADF，平面DFC∩平面BCE=l，平面DFC∩平面ADF=DF．
∴DF∥l．證畢
（Ⅱ）解：∵FA⊥AB，FA⊥CD，AB與CD相交，
∴FA⊥平面ABCD．
過點A作AM⊥CD，垂足為M，連接FM，根據三垂線定理可得FM⊥CM，∴∠FMA是二面角F-CD-A的平面角．
過D點作DN⊥BC交BC于點N，則四邊形ABND是矩形，∴DN=2，CN=1，∴CD=

5

．
∵△AMD∽△DNC，∴

AM

DN

=

AD

CD

，∴AM=

1×2

5

=

2 5

5

．
在Rt△AMF中，由勾股定理可得MF=

22+( 2 5 5 )2

=

2 30

5

，
∴cos∠AMF=

AM

MF

=

6

6

．
∴二面角F-CD-A的余弦值是

6

6

．

點評：熟練掌握線面、面面平行的判定和性質定理、相似三角形的性質、三垂線定理、線面角的定義是解題的關鍵．