Question

如圖，四邊形ABEF和四邊形ABCD均是直角梯形，∠FAB=∠DAB=90°，AF=AB=BC=2，AD=1，FA⊥CD．

（Ⅰ）證明：在平面EBC上，一定存在過C的直線l與直線FD平行；

（Ⅱ）求二面角F﹣CD﹣A的余弦值．

Answer 1

考點：

二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．

專題：

空間角．

分析：

（Ⅰ）利用線面、面面平行的判定和性質定理即可證明；

（Ⅱ）利用相似三角形的性質、三垂線定理、線面角的定義即可得出．

解答：

（Ⅰ）證明：由已知得，BE∥AF，BC∥AD，BE∩BC=B，AD∩AF=A，

∴平面BCE∥平面ADF．

設平面DFC∩平面BCE=l，則l過C點．

∵平面BCE∥平面ADF，平面DFC∩平面BCE=l，平面DFC∩平面ADF=DF．

∴DF∥l．證畢

（Ⅱ）解：∵FA⊥AB，FA⊥CD，AB與CD相交，

∴FA⊥平面ABCD．

過點A作AM⊥CD，垂足為M，連接FM，根據三垂線定理可得FM⊥CM，∴∠FMA是二面角F﹣CD﹣A的平面角．

過D點作DN⊥BC交BC于點N，則四邊形ABND是矩形，∴DN=2，CN=1，∴CD=．

∵△AMD∽△DNC，∴，∴=．

在Rt△AMF中，由勾股定理可得=，

∴cos∠AMF==．

∴二面角F﹣CD﹣A的余弦值是．

點評：

熟練掌握線面、面面平行的判定和性質定理、相似三角形的性質、三垂線定理、線面角的定義是解題的關鍵．