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(本小題滿分14分)

    若圓C過點M(0,1)且與直線相切,設圓心C的軌跡為曲線E,A、B為曲線E上的兩點,點

   (I)求曲線E的方程;

   (II)若t=6,直線AB的斜率為,過A、B兩點的圓N與拋物線在點A處共同的切線,求圓N的方程;

   (III)分別過A、B作曲線E的切線,兩條切線交于點Q,若點Q恰好在直線上,

求證:t與均為定值。

【解】(Ⅰ)依題意,點到定點的距離等于到定直線的距離,所以點的軌跡為拋物線,曲線的方程為.……………………………………………………3分

(Ⅱ)直線的方程是,即.

,得……5分

,.

 所以拋物線在點處切線的斜率為.

     直線的方程為,即.①

     線段的中點坐標為,中垂線方程為,即.②

     由①、②解得.…………………………………………………………7分

     于是,圓的方程為,

即  . ………………………………………………………8分

(Ⅲ)設,,.過點的切線方程為,

.同理可得,所以,.…10分

=,所以直線的方程為,即,亦即,所以.………………………………………11分

,,

所以

.…………………………………13分

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

(2011•廣東模擬)(本小題滿分14分 已知函數f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)

(I)化簡f(x)的表達式,并求f(x)的最小正周期;
(II)當x∈[0,
π
2
]  時,求函數f(x)
的值域.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(本小題滿分14分)設橢圓C1的方程為(ab>0),曲線C2的方程為y=,且曲線C1C2在第一象限內只有一個公共點P。(1)試用a表示點P的坐標;(2)設AB是橢圓C1的兩個焦點,當a變化時,求△ABP的面積函數S(a)的值域;(3)記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個。設g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積,試求函數f(a)=min{g(a), S(a)}的表達式。

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(本小題滿分14分)
已知=2,點()在函數的圖像上,其中=.
(1)證明:數列}是等比數列;
(2)設,求及數列{}的通項公式;
(3)記,求數列{}的前n項和,并證明.

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科目:高中數學 來源:2015屆山東省威海市高一上學期期末考試數學試卷(解析版) 題型:解答題

 (本小題滿分14分)

某網店對一應季商品過去20天的銷售價格及銷售量進行了監測統計發現,第天()的銷售價格(單位:元)為,第天的銷售量為,已知該商品成本為每件25元.

(Ⅰ)寫出銷售額關于第天的函數關系式;

(Ⅱ)求該商品第7天的利潤;

(Ⅲ)該商品第幾天的利潤最大?并求出最大利潤.

 

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科目:高中數學 來源:2011-2012學年廣東省高三下學期第一次月考文科數學試卷(解析版) 題型:解答題

(本小題滿分14分)已知的圖像在點處的切線與直線平行.

⑴ 求滿足的關系式;

⑵ 若上恒成立,求的取值范圍;

⑶ 證明:

 

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