Question

3．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足（x-1）f′（x）≤0，且f（-x）=f（2+x），當(dāng)|x₁-1|＜|x₂-1|時(shí)，有（　　）

• A． f（2-x₁）≥f（2-x₂）
• B． f（2-x₁）=f（2-x₂）
• C． f（2-x₁）＞f（2-x₂）
• D． f（2-x₁）≤f（2-x₂）

Answer 1

分析 ①若函數(shù)f（x）為常數(shù)，可得當(dāng)|x₁-1|＜|x₂-1|時(shí)，恒有f（2-x₁）=f（2-x₂）．②若f（x）不是常數(shù)，可得y=f（x）關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)．當(dāng)x₁≥1，x₂≥1，則由|x₁-1|＜|x₂-1|，可得f（x₁）＞f（x₂）．當(dāng)x₁＜1，x₂＜1時(shí)，同理可得f（x₁）＞f（x₂）．綜合①②得出結(jié)論．

解答 解：①若f（x）=c，則f'（x）=0，此時(shí)（x-1）f'（x）≤0和y=f（x+1）為偶函數(shù)都成立，
此時(shí)當(dāng)|x₁-1|＜|x₂-1|時(shí)，恒有f（2-x₁）=f（2-x₂）．
②若f（x）不是常數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x+1）為偶函數(shù)，所以y=f（x+1）=f（-x+1），
即函數(shù)y=f（x）關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，所以f（2-x₁）=f（x₁），f（2-x₂）=f（x₂）．
當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）≤0，此時(shí)函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＜1時(shí)，f'（x）≥0，此時(shí)函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增．
若x₁≥1，x₂≥1，則由|x₁-1|＜|x₂-1|，得x₁-1＜x₂-1，即1≤x₁＜x₂，所以f（x₁）＞f（x₂）．
同理若x₁＜1，x₂＜1，由|x₁-1|＜|x₂-1|，得-（x₁-1）＜-（x₂-1），即x₂＜x₁＜1，所以f（x₁）＞f（x₂）．
若x₁，x₂中一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，不妨設(shè)x₁＜1，x₂≥1，則-（x₁-1）＜x₂-1，
可得1＜2-x₁＜x₂，所以f（2-x₁）＞f（x₂），即f（x₁）＞f（x₂）．
綜上有f（x₁）＞f（x₂），即f（2-x₁）＞f（2-x₂），
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題