Question

設函數f(x)=

　　討論：(1)n取何值時，f(x)在x=0處連續？

　　(2)n取何值時，f(x)在x=0處可導？

　　(3)n取何值時，f′(x)在x=0處連續？

 

Answer 1

答案：
解析：

解：要使函數f(x)在點x0處連續，需使f(x)=f(x0)；要使函數f(x)在點x0處可導，要使極限存在。要緊扣函數的連續與可導這兩個定義。 　　 (1)當n為任意整數時，均有xn·sin=0=f(0)， 　　  ∴ 對于n取任意正整數，f(x)均在x=0處連續。 　　 (2)考查極限：=xn-1sin，此極限當n-1＞0時存在，因此n≥2時，f(x)在x=0處可導，此時，f′(0)=0。 　　 (3)當x0時， 　　  f′(x)=nxn-1·sin+xncos·=n·nn-1sin-xn-2 Cos。 　　  要使f′(x)=0=f′(0)， 　　  只要n-2＞0。   ∴ n≥3使f′(x)在x=0處連續。