Question

對任意，不等式psin²x+4sin²x+4cos⁴x≥1恒成立，則實數p的取值范圍是________．

Answer 1

[4-4，+∞）
分析：先利用移項及同角三角函數間的基本關系化簡不等式，然后將p分離出來，再根據基本不等式求出不等式一側的最大值，使p大于不等式一側的最大值，即可使不等式恒成立．
解答：∵psin²x+4sin²x+4cos⁴x≥1，
∴psin²x≥1-4sin²x-4cos⁴x=-4sin⁴x+4sin²x-3，
∴p≥-4sin²x+4-，
而4sin²x+≥4，
∴4-（4sin²x+）的最大值為4-4，
則p的取值范圍是[4-4，+∞）．
故答案為：[4-4，+∞）
點評：本題考查了三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的定義域和值域，以及函數恒成立問題和基本不等式的應用，熟練掌握同角三角函數間的基本關系及基本不等式是解本題的關鍵．