Question

已知復數z=（a²-4sin²θ）+2（cosθ+1）i，其中a∈R⁺，θ∈（0，π），i為虛數單位，且z是方程x²+2x+2=0的一個根．
（1）求θ與a的值；
（2）若w=x+yi（x，y為實數），求滿足的點（x，y）表示的圖形的面積．

Answer 1

解：（1）∵z是方程x²+2x+2=0的一個根，∴也是此方程的一個根，
∴z+=-2，，
∴，又a∈R⁺，θ∈（0，π），解得．
即，．
（2）由（1）可得：z=-1+i．
∵==|1+i|=．
∴，
∴|（x-1）+yi|，∴，即（x-1）²+y²≤2．
∴點（x，y）在以（1，0）為圓心，為半徑的圓上．
∴點（x，y）表示的圖形的面積==2π．
分析：（1）利用實系數一元二次方程的虛根成對原理及根與系數的關系即可得出；
（2）利用復數的運算法則進行化簡和復數的模的計算公式及其幾何意義、圓的標準方程即可得出．
點評：熟練掌握實系數一元二次方程的虛根成對原理及根與系數的關系、復數的運算法則進行化簡和復數的模的計算公式及其幾何意義、圓的標準方程是解題的關鍵．