Question

(本大題滿分13分)
若存在常數k和b (k、b∈R)，使得函數和對其定義域上的任意實數x分別滿足：和，則稱直線l：為和的“隔離直線”．已知， (其中e為自然對數的底數)．
(1)求的極值；
(2)函數和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)解：∵，
∴當時，
∵當時，，此時函數遞減；
當時，，此時函數遞增；
∴當時，F(x)取極小值，其極小值為0．                                                         

(2)解：由(1)可知函數和的圖象在處有公共點，
因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點．
設隔離直線的斜率為k，則直線方程為，即             

由，可得當時恒成立
由得：                                                                             

下面證明當時恒成立．
令，
則，                                                                          

當時，．
∵當時，，此時函數遞增；
當時，，此時函數遞減；
∴當時，取極大值，其極大值為0．                                                       

從而，即恒成立．
∴函數和存在唯一的隔離直線．