Question

單調函數，  .
（1）證明：f(0)=1且x<0時f(x)>1;
（2）

Answer 1

（1）見解析（2）

本試題主要是考查了抽象函數性質的運用。
（1）在f(m+n)=f(m)·f(n)中，取m>0，n=0，有f(m)=f(m)·f(0) ，
∵x>0時0<f(x)<1 ∴f(0)=1 
又設m=x<0，n=–x>0 則0<f(–x)<1    
∴f(m+n)=" f(0)=" f(x)·f(–x)=1   
∴f(x)=>1， 即x<0時，f(x)>1
（2）
∴f(x)是定義域R上的單調遞減函數
，然后解不等式得到。
解析：（1）在f(m+n)=f(m)·f(n)中，取m>0，n=0，有f(m)=f(m)·f(0) ，
∵x>0時0<f(x)<1 ∴f(0)=1   ………3分
又設m=x<0，n=–x>0 則0<f(–x)<1    
∴f(m+n)=" f(0)=" f(x)·f(–x)=1   
∴f(x)=>1， 即x<0時，f(x)>1………6分
（2）
∴f(x)是定義域R上的單調遞減函數.   ………8分
………9分
………10分
…11分
………13分