Question

設定點F₁（0，-4）、F₂（0，4），動點P滿足條件|PF₁|+|PF₂|=a+（a為大于0的常數），則點P的軌跡是（ ）
A．橢圓
B．線段
C．不存在
D．橢圓或線段

Answer 1

【答案】分析：由基本不等式可得 a+≥8，當a+=8時，點P滿足|PF₁|+|PF₂|=|F₁F₂|，P的軌跡是線段F₁F₂；a+＞8時，點P滿足|PF₁|+|PF₂|為常數，且大于線段|F₁F₂|的長，P的軌跡是橢圓．
解答：解：∵a＞0，∴a+≥2=8．
當  a+=8=|F₁F₂|時，由點P滿足條件|PF₁|+|PF₂|=a+=|F₁F₂|得，點P的軌跡是線段F₁F₂．
當  a+＞8=|F₁F₂|時，由點P滿足條件|PF₁|+|PF₂|=a+＞|F₁F₂|，滿足橢圓的定義，所以點P的軌跡是以F₁、F₂ 為焦點的橢圓．
綜上，點P的軌跡是線段F₁F₂ 或橢圓，
故選 D．
點評：本題考查橢圓的定義，基本不等式的應用，體現了分類討論的數學思想，確定 a+的范圍是解題的關鍵．