Question

設(shè)f（x）=x³+ax²+bx+c，又k是一個(gè)常數(shù)，已知當(dāng)k＜0或k＞4時(shí)，f（x）-k=0只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)0＜k＜4時(shí)，f（x）-k=0有三個(gè)相異實(shí)根，現(xiàn)給出下列命題：
（1）f（x）-4=0和f'（x）=0有且只有一個(gè)相同的實(shí)根．
（2）f（x）=0和f'（x）=0有且只有一個(gè)相同的實(shí)根．
（3）f（x）+3=0的任一實(shí)根大于f（x）-1=0的任一實(shí)根．
（4）f（x）+5=0的任一實(shí)根小于f（x）-2=0的任一實(shí)根．
其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

Answer 1

【答案】分析：因?yàn)楹瘮?shù)是一元三次函數(shù)，所以是雙峰函數(shù)，根據(jù)題目給出的函數(shù)在不同范圍內(nèi)實(shí)根的情況，畫出函數(shù)f（x）的簡(jiǎn)圖，然后借助于圖象，逐一分析四個(gè)命題即可得到正確答案．
解答：解：因?yàn)閒（x）=x³+ax²+bx+c，且f（x）-k=0在k＜0或k＞4時(shí)只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，在0＜k＜4時(shí)有三個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以其圖象近似如下圖，

因?yàn)閒^′（x）=0的根是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
由圖象可知，f（x）-4=0和f^′（x）=0有且只有一個(gè)相同的實(shí)根，所以命題（1）正確；
f（x）=0和f^′（x）=0有且只有一個(gè)相同的實(shí)根，所以命題（2）正確；
f（x）+3=0的實(shí)根小于f（x）-1=0的實(shí)根，所以命題（3）不正確；
f（x）+5=0的實(shí)根小于f（x）-2=0的實(shí)根，所以命題（4）正確．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假及應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，解答此題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)方程f（x）-k=0的根的情況作出函數(shù)f（x）的圖象的大致形狀，此題是中擋題．