Question

已知數列{a_n}，{b_n}都是由正數組成的等比數列，公比分別為p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．設c_n=a_n+b_n，S_n為數列{c_n}的前n項和．求

lim

n→∞

Sn

Sn-1

．

Answer 1

Sn=

a1(pn-1)

p-1

+

b1(qn-1)

q-1

，

Sn

Sn-1

=

a1(q-1)(pn-1)+b1(p-1)(qn-1)

a1(q-1)(pn-1-1)+b1(p-1)(qn-1-1)

．
分兩種情況討論．（Ⅰ）p＞1．
∵p＞q＞0，0＜

q

p

＜1，

lim

n→∞

Sn

Sn-1

=

lim

n→∞

pn[a1(q-1)(1- 1 pn )+b1(p-1)( qn pn - 1 pn )]

pn-1[a1(q-1)(1- 1 pn-1 )+b1(p-1)( qn-1 pn-1 - 1 pn-1 )]

=p•

lim

n→∞

a1(q-1)(1- 1 pn )+b1(p-1)[( q p )n- 1 pn ]

a1(q-1)(1- 1 pn-1 )+b1(p-1)[( q p )n-1- 1 pn-1 ]

=p•

a1(q-1)

a1(q-1)

=p．
（Ⅱ）p＜1．
∵0＜q＜p＜1，

lim

n→∞

Sn

Sn-1

=

lim

n→∞

a1(q-1)(pn-1)+b1(p-1)(qn-1)

a1(q-1)(pn-1-1)+b1(p-1)(qn-1-1)

=

-a1(q-1)-b1(p-1)

-a1(q-1)-b1(p-1)

=1