Question

等比數列{a_n}的前n項和為S_n，已知對任意的n∈N^*，點（n，S_n），均在函數y=b^x+r（b＞0）且b≠1，b，r均為常數）的圖象上．
（1）求r的值；
（2）當b=2時，記b_n=

n+1

4an

（n∈N^*），求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由“對任意的n∈N⁺，點（n，S_n），均在函數y=b^x+r（b＞0，且b≠1，b，r均為常數）的圖象上”可得到S_n=bⁿ+r，依次求出a₁、a₂、a₃，由等比數列的性質（a₂）²=a₁×a₃，解可得答案．
（2）結合（1）可知a_n=（b-1）b^n-1=2^n-1，從而bn=

n+1

4an

=

n+1

4×2n-1

=

n+1

2n+1

，符合一個等差數列與等比數列相應項之積的形式，用錯位相減法求解即可．

解答：解：因為對任意的n∈N⁺，點（n，S_n），均在函數y=b^x+r（b＞0，且b≠1，b，r均為常數）的圖象上．
所以得S_n=bⁿ+r，
當n=1時，a₁=S₁=b+r，
a₂=S₂-S₁=b²+r-（b¹+r）=b²-b¹=（b-1）b，
a₃=S₃-S₂=b³+r-（b²+r）=b³-b²=（b-1）b²，
又因為{a_n}為等比數列，所以（a₂）²=a₁×a₃，
解可得r=-1，
（2）當b=2時，a_n=（b-1）b^n-1=2^n-1，bn=

n+1

4an

=

n+1

4×2n-1

=

n+1

2n+1

則T_n=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n+1

2n+1

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+

4

25

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

相減，得

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

1

2

+

1 23 ×(1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

所以Tn=

3

2

-

1

2n

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

點評：本題主要考查數列與函數的綜合運用，主要涉及了數列的通項與前n項和間的關系，錯位相減法求和等問題，屬中檔題，是常考類型．