Question

【題目】已知長方形ABCD中，AB＝1，AD＝。現將長方形沿對角線BD折起，使AC＝a，得到一個四面體ABCD，如圖所示．

(1)試問：在折疊的過程中，異面直線AB與CD，AD與BC能否垂直？若能垂直，求出相應的a值；若不垂直，請說明理由．

(2)當四面體ABCD的體積最大時，求二面角ACDB的余弦值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解：(1)若AB⊥CD，因為AB⊥AD，AD∩CD＝D，

所以AB⊥平面ACD，所以AB⊥AC.

即AB2＋a2＝BC2，即12＋a2＝()2，所以a＝1。

若AD⊥BC，因為AD⊥AB，

所以AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC.

即AD2＋a2＝CD2，即()2＋a2＝12，

所以a2＝－1，無解．

故AD⊥BC不成立．

(2)要使四面體ABCD的體積最大，因為△BCD的面積為定值，

所以只需三棱錐ABCD的高最大即可，此時平面ABD⊥平面BCD，

過點A作AO⊥BD于點O，

則AO⊥平面BCD，

以O為坐標原點建立空間直角坐標系Oxyz(如圖)，

則易知A，C(，，0)，D，

顯然，平面BCD的一個法向量為＝。

設平面ACD的法向量為n＝(x，y，z)．

因為＝，＝，

所以令y＝，得n＝(1，，2)．

故二面角ACDB的余弦值為|cos〈，n〉|＝＝。